tugas matematiaka temanku

DIMENSI 3,DIAGONAL BIDANG

DAN DIAGONAL RUANG

TUGAS MATEMATIKA

DISUSUN OLEH :

ADE FIRMANSYAH

XII MIA

SMA NEGERI 1 SIRAMPOG

Diagonal Bidang, Ruang, dan Bidang Diagonal Balok

Kubus dan Balok

Dalam kehidupan sehari-hari kita seing melihat benda-berbentuk balok, misalnya penghapus, pembungkus sabun mandi, dan lain sebagainya. Di dalam balok kita akan mengenal istilah diagonal bidang atau diagonal sisi, diagonal ruang dan bidang diagonal.

Diagonal Bidang Balok

Diagonal bidang suatu balok adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada setiap bidang atau sisi balok. Untuk memahami definisi tersebut coba perhatikan bidang TUVW pada gambar di bawah ini.

Ruas garis yang menghubungkan titik sudut T dan V serta U dan W disebut diagonal bidang atau diagonal sisi. Dengan demikian, bidang TUVW mempunyai dua diagonal bidang, yaitu TV dan UW . Jadi, setiap bidang pada balok mempunyai dua diagonal bidang. Karena balok memiliki 6 bidang sisi, maka balok memiliki 12 diagonal bidang atau diagonal sisi. Bagaimana cara menghitung panjang diagonal bidang atau diagonal sisi pada balok?

Untuk mencari panjang diagonal bidang atau sisi dapat menggunakan teorema phytagoras. Sekarang perhatikan gambar balok di bawah ini.

Misalkan balok PQRS.TUVW di atas memiliki panjang p, lebar l, dan tinggi t. Maka panjang TV dapat dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras, di mana segitiga TUV siku-siku di U. Sehingga:

TV = √(TU² + UV²)

TV = √(p² + l²)

Untuk lebih memantapkan pemahaman Anda tentang diagonal sisi, silahkan perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal

Perhatikan gambar di bawah berikut ini.

Diketahui panjang AB = 12 cm, BC = 8 cm dan AE = 5 cm. Hitunglah:

a) panjang AF

b) panjang AC

c) panjang AH

Penyelesaian:

a) Panjang AF dapat dihitung dengan teorema phytagoras. Perhatikan segitiga ABF siku-siku di B, maka:

AF = √(AB² + BF²)

AF = √(12² + 5²)

AF = √(144 + 25)

AF = √169

AF = 13 cm

b) Perhatikan segitiga ABC siku-siku di B, maka:

AC = √(AB² + BC²)

AF = √(12² + 8²)

AF = √(144 + 64)

AF = √208

AF = 4√13 cm

c) Perhatikan segitiga AEH siku-siku di E, maka:

AC = √(AE² + EH²)

AF = √(5² + 8²)

AF = √(25 + 64)

AF = √89 cm

Diagonal Ruang Balok

Diagonal ruang pada balok adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan dalam suatu ruang. Untuk memahami definisi tersebut coba perhatikan gambar berikut di bawah ini.

Hubungkan titik P dan V, Q dan W, R dan T, atau S dan U. Garis PV, garis QW, garis RT, dan garis SU disebut diagonal ruang. Diagonal-diagonal ruang tersebut akan berpotongan di satu titik. Suatu balok memiliki empat buah diagonal ruang yang sama panjang dan berpotongan pada satu titik. Bagaimana menghitung panjang diagonal ruang balok?

Sama seperti mencari diagonal bidang, untuk mencari diagonal ruang juga menggunakan teorema phyagoras. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Misalkan balok ABCD.EFGH di atas memiliki panjang p, lebar l, dan tinggi t. Maka panjang AG dapat dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras. Tetapi sebelum itu harus cari panjang AC, di mana AC merupakan diagonal sisi. Sekarang perhatikan segitiga ABC  siku-siku di B. Sehingga:

AC = √(AB² + BC²)

AC = √(p² + l²)

Sekarang cari panjang AG dengan teorema phytagoras juga. Sekarang perhatikan segitiga ACG  siku-siku di G. Sehingga:

AG = √(AC² + CG²)

AG = √(√(p² + l²)² + t²)

AG = √(p² + l² + t²)

Misalkan diagonal ruang balok adalah d maka secara umum diagonal ruang balok dapat dirumuskan:

d = √(p² + l² + t²)

Untuk lebih memantapkan pemahaman Anda tentang diagonal ruang, silahkan perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal

Sebuah balok memiliki panjang 12 cm, lebar 8 cm dan tinggi 4 cm. Hitung berapa

Penyelesaian:

d = √(p² + l² + t²)

d = √(12² + 8² + 4²)

d = √224

d = 4√14 cm 

Bidang Diagonal

Bidang diagonal suatu balok adalah bidang yang dibatasi oleh dua rusuk dan dua diagonal bidang suatu balok. Untuk memahami definisi tersebut coba perhatikan balok PQRS.TUVW pada gambar di bawah ini. 

Bidang PRVT dan PWVQ disebut bidang diagonal. Jadi balok memiliki enam bidang diagonal yang berbentuk persegi panjang dan tiap pasangnya kongruen. Bagaimana menghitung luas bidang diagonal?

Untuk menghitung luas bidang diagonal dapat menggunakan rumus luas persegi panjang. Untuk lebih memantapkan pemahaman Anda tentang diagonal ruang, silahkan perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal

Perhatikan gambar di bawah berikut ini.

 

Diketahui panjang AB = 12 cm, BC = 8 cm dan AE = 6 cm. Hitunglah luas bidang diagonal ABGH!

Penyelesaiaan: 

Jika digambarkan akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Terlebih dahulu harus cari panjang BG dengan teorema phytagoras.

BG = √(BC² + CG²)

BG = √(8² + 6²)

BG = √(64 + 36)

BG = √100

BG = 10 cm

Luas bidang diagonal ABGH dapat dicari dengan rumus persegi panjang, yakni:

Luas ABGH = AB . BG

Luas ABGH = 12 cm . 10 cm

Luas ABGH = 120 cm²

tugas matematika zakaria

DIMENSI 3,DIAGONAL BIDANG

DAN DIAGONAL RUANG

TUGAS MATEMATIKA

DISUSUN OLEH :

ZAKARIA

XII MIA

SMA NEGERI 1 SIRAMPOG

Diagonal Bidang, Ruang, dan Bidang Diagonal Kubus

Kubus dan Balok

Sifat-sifat yang dimiliki oleh kubus hampir sama dengan sifat-sifat yang dimiliki oleh balok. Yang membedakan hanya ukurannya saja. Kubus memiliki sisi yang sama di semua sisinya. Sebelumnya Mafia Online sudah membahas mengenai diagonal bidang, diagonal ruang dan bidang diagonal balok. Pada postingan ini akan membahas tentang diagonal bidang, diagonal ruang dan bidang diagonal.

Diagonal Bidang Kubus

Diagonal bidang suatu kubus adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada setiap bidang atau sisi kubus. Sekarang coba perhatikan bidang ABEF pada gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini.

Ruas garis yang menghubungkan titik sudut B dan E disebut diagonal bidang kubus. Setiap bidang pada kubus mempunyai dua diagonal bidang. Karena kubus memiliki 6 bidang sisi, maka kubus memiliki 12 diagonal bidang atau diagonal sisi. Bagaimana cara menghitung panjang diagonal bidang atau diagonal sisi pada kubus?

Diagonal bidang atau sisi dapat ditentukan dengan menggunakan teorema phytagoras. Sekarang perhatikan gambar kuubus di bawah ini.

Misalkan kubus ABCD.EFGH di atas memiliki rusuk s. Maka panjang BE dapat dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras, di mana segitiga ABE siku-siku di A. Sehingga:

BE = √(AB² + AE²)

BE = √(s² + s²)

BE = √2s²

BE = s√2

Misalkan diagonal bidang kubus adalah b maka secara umum diagonal bidang kubus dapat dirumuskan:

b = s√2

Diagonal Ruang Kubus

Diagonal ruang pada kubus adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan dalam suatu ruang di dalam kubus. Sekarang coba perhatikan gambar berikut di bawah ini. 

Garis BH disebut diagonal ruang. Selain garis BH, ada juga garis AG, garis DF, dan garis CE yang merupakan diagonal ruang kubus. Diagonal-diagonal ruang tersebut akan berpotongan di satu titik. Suatu kubus memiliki empat buah diagonal ruang yang sama panjang dan berpotongan pada satu titik.Bagaimana menghitung panjang diagonal ?

 Sama seperti mencari diagonal bidang, untuk mencari diagonal ruang juga menggunakan teorema phyagoras. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Misalkan kubus ABCD.EFGH di atas memiliki rusuk s. Maka panjang BH dapat dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras. Tetapi sebelum itu harus cari panjang BD, di mana BD merupakan diagonal sisi. Sekarang perhatikan segitiga ABD  siku-siku di A. Sehingga:

BD = s√2

Sekarang cari panjang BH dengan teorema phytagoras juga. Sekarang perhatikan segitiga BDH  siku-siku di D. Sehingga:

BH = √(BD² + DH²)

BH = √(s√2)² + s²)

BH = √(2s² + s²)

BH = √(3s²)

BH = s√3 

Misalkan diagonal ruang kubus adalah d, maka secara umum diagonal ruang kubus dapat dirumuskan:

d = s√3 

Bidang Diagonal Kubus

Bidang diagonal suatu kubus adalah bidang yang dibatasi oleh dua rusuk dan dua diagonal bidang suatu kubus. Perhatikan balok ABCD.EFGH pada gambar di bawah ini. 

Bidang ABGH disebut bidang diagonal. Kubus memiliki enam bidang diagonal yang berbentuk persegi panjang dan tiap pasangnya kongruen. Bagaimana menghitung luas bidang diagonal?

Untuk menghitung luas bidang diagonal dapat menggunakan rumus luas persegi panjang. Sekarang coba perhatikan kembali gambar kubus ABCD.EFGH di atas, jika rusuknya s, maka luas bidang ABGH yakni:
Luas ABGH = AB . BG
Luas ABGH = s . s√2
Luas ABGH = s²√2 

Untuk lebih memantapkan pemahaman Anda tentang diagonal bidang, diagonal ruang dan bidang diagonal ruang, silahkan perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soa
Sebuah kubus memiliki panjang rusuk 5 cm. Hitunglah panjang diagonal bidang, diagonal ruang dan luas salah satu bidang diagonal kubus tersebut.

Penyelesaian:
Panjang diagonal bidang yakni:

b = s√2

b = 5√2 cm

Panjang diagonal ruang yakni:

d = s√3

d = 5√3 cm

Luas bidang diagonal yakni: 

Luas = s²√2 

Luas = (5 cm)²√2

Luas = 25√2 cm² 

Kesimpulan:

Karena balok dan kubus memiliki sifat yang hampir sama maka berikut sifat-sifat yang dimiliki oleh kubus juga dimiliki oleh balok.

1.        Memiliki 6 sisi (bidang) berbentuk persegi yang saling kongruen. Sisi (bidang) tersebut adalah bidang ABCD, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE, dan EFGH. 

2.        Memiliki 12 rusuk yang sama panjang, yaitu AB , BC, CD , AD , EF , FG , GH , EH , AE , BF , CG , dan DH. 

3.        Memiliki 8 titik sudut, yaitu A, B, C, D, E, F, G, dan H. 

4.        Memiliki 12 diagonal bidang yang sama panjang, di antaranya AC , BD , BG , dan CF . 

5.        Memiliki 4 diagonal ruang yang sama panjang dan berpotongan di satu titik, yaitu AG , BH , CE , dan DF.

6.        Memiliki 6 bidang diagonal berbentuk persegi panjang yang saling kongruen, di antaranya bidang ACGE, BGHA, AFGD, dan BEHC.